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对称加密

RSA加密算法的原理

发布时间:2015-05-11 15:53
 
近年来,网络的发展和普及,解除了人们传统意义上的时间和空间的束缚,真正实现了全球性息化,但
 
与此同时,由于网络的开放性,互动性,信息采用不正常的手段进行修改,代替和窃取等一系列的不安
 
全问题。,因此信息安全是当今社会一个必不可少的命题。
 
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法,它既能用于加密,也能用于数字签名。
rsa算法不但能用于数据加密,也能用数字签名,还能检测素数的算法,能够抵抗到目前为此已知的所有
 
密码功击,其安全性依赖于大素数因数分解的困难性。
 

RSA加密算法原理图:

 
RSA加密算法中,只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。

素数

 
  素数又称质数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数.
什么是“素数”?
  素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它
 
两个整数的乘积。例如,15=3*5,所以15不是素数;又如,12=6*2=4*3,所以12也不是素数。
 
另一方面,13除了等于13*1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数。素数也
 
称为“质数”。
 
常见的互质数判断方法主要有以下几种:
 
两个不同的质数一定是互质数。例如,2与7、13与19。
一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数为互质数。例如,3与10、5与 26。
相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
2和任何奇数是互质数。例如2和87。
1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
辗转相除法。

指数运算

 
  指数运算又称乘方计算,计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果,叫做”n的
 
m次幂”或”n的m次方”。其中,n称为“底数”,m称为“指数”。
模运算
 
  模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上
 
,当两个整数除以同一个正整数,若得相同余数,则二整数同余。
 
  两个整数a,b,若它们除以正整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作: a ≡ b (mod 
 
m);读作:a同余于b模m,或者,a与b关于模m同余。例如:26 ≡ 14 (mod 12)。

公钥与密钥的产生

 
  假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥:
 
随意选择两个大的质数p和q,p不等于q,计算N=pq。
根据欧拉函数,求得r = (p-1)(q-1)
选择一个小于 r 的整数 e,求得 e 关于模 r 的模反元素,命名为d。(模反元素存在,当且仅当e与r互质)
将 p 和 q 的记录销毁。
(N,e)是公钥,(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob,而将她的私钥(N,d)藏起来。
 
 

RSA加密算法的安全性

 
  当p和q是一个大素数的时候,从它们的积pq去分解因子p和q,这是一个公认的数学难题。然而,虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解,但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
RSA加密算法的缺点
  虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一,在发表三十多年的时间里,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受。但是,也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以,RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上,RSA也有一些缺点:
 
产生密钥很麻烦,受到素数产生技术的限制,因而难以做到一次一密;
分组长度太大,为保证安全性,n 至少也要 600 bits 以上,使运算代价很高,尤其是速度较慢
 
 

签名消息

 
  RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话,那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest),然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值,然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话,那么他就可以知道发信人持有甲的密钥,以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

RSA加密算法的缺点

  虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一,在发表三十多年的时间里,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受。但是,也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以,RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上,RSA也有一些缺点:
 
产生密钥很麻烦,受到素数产生技术的限制,因而难以做到一次一密;
分组长度太大,为保证安全性,n 至少也要 600 bits 以上,使运算代价很高,尤其是速度较慢
 

加密和解密

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。
 
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